Henri Kling wurde am 15. Februar 1842 in Paris geboren. Sein Vater Ludwig Christoph Kling stammte aus Deutschland, seine Mutter Claudette, geborene Rémy, aus Frankreich.
Im Alter von zwei Jahren zog Kling mit seinen Eltern von Paris in die Heimatstadt seines Vaters und wuchs in Karlsruhe auf. Kurze Zeit später starb seine Mutter, und sein Vater heiratete erneut. Kling studierte in Karlsruhe Horn bei Jacob Dorn. Mit 20 Jahren wurde er als Hornist in das Orchester des „Grande Théâtre“, der damaligen Genfer Oper, berufen und spielte auch im Pepin-Orchester. 1865 veröffentlichte er eine hoch geschätzte Hornschule. 1866 wurde er Lehrer für Musiktheorie, Gesang (Solfège) und Horn am Conservatoire de musique de Genève und blieb in dieser Position bis zu seinem Tod.
Klings musikalische Interessen waren vielfältig: Er wirkte als Organist an der Kirche in Cologny und an der Kirche Saint-Germain in Genf, leitete die Casino-Orchester in Genf und in Evian-les-Bains (Frankreich) sowie das „Corps de Musique de Landwehr“, die offizielle Harmonie der Republik und des Kantons Genf (Schweiz). Außerdem unterrichtete er Musik und Gesang an einem Mädchengymnasium in Genf.
Als Komponist schrieb er Werke für Orchester, Blasorchester, Musiktheater, Kirchenmusik, Vokalmusik, Kammermusik sowie pädagogische Werke. Kling arrangierte die Hornkonzerte von Wolfgang Amadeus Mozart für das moderne Orchester und schrieb die Kadenzen dazu. Darüber hinaus bearbeitete er das Concertino für Horn und Orchester op. 45 von Carl Maria von Weber sowie von Mozart das Konzert A-Dur für Klarinette und Orchester KV 622 und das Konzert B-Dur für Fagott und Orchester KV 191.